2015-2016第一学期数学分析3-1期末考试

一.(1)求极限：\(\displaystyle\lim\limits_{x\to+\infty}(\frac{\pi}{2}-\arctan x)^{\frac{1}{\ln x}}\)

(2)已知\(f(x)\)连续可导，且有\(f'(0)=0,f''(0)\)存在,求\(\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(\sin x)}{x^4}\).

二.定义在\([0,2]\)上的函数\(f(x)\)满足\(f(0)=f(2),|f''(x)|\leq1,f(x)\)三次可微.证明\(\exists \xi \in[0,2]\)使得\(|f'''(\xi)|\leq \sqrt 3\).

三.用区间套定理证明确界原理.

四.已知\(\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{\frac{x^2\ln x}{x+1}}\).判断\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)的一致连续性.

五.用致密性定理证明闭区间上连续函数的有界定理.

六.设\(f(x)\)在\([0,1]\)上可微,\(f(0)=0\),对任何\(x\in(0,1),f(x)\neq0\).证明 \(\forall n\in\mathbf{N}^*\) ,\(\exists \xi_n \in(0,1)\),使得

\[\frac{nf'(\xi_n)}{f(\xi_n)}=\frac{f'(1-\xi_n)}{f(1-\xi_n)}\]