2017-2018第一学期泛函分析期末考试

一、设\(c_{00}\)是有限项不为0的数列的全体,证明\(c_{00}\)可分.

二、\(f\)是Banach空间\(E\)上的有界线性泛函,当\(ker(f)=\{x\in E:f(x)=0\}\)为闭子空间时,证明\(f\)有界.

三、\(T(x)=\{\alpha_n\xi_n\}\in l^1\)\(\{\alpha_n\}\)是有界数列,\(x=\{\xi_n\}\in l^1\).证明:(1)\(\|T\|\leqslant \sup\{|\alpha_n|\}\);(2)若\(T^{-1}\)存在且有界,证明\(\inf|\alpha_n|>0\).

四、\(L\)\(X\)的闭子空间,\(x_0 \notin L\)\(L_0=\{\alpha x_0+y:\alpha \in \mathbb{R},y\in L \}\).证明\(L_0\)\(X\)的闭子空间.

五、(1)叙述谱与特征值的定义;(2)\(Tx=\{\eta_n\},x=\{\xi_n\}\).其中\(\eta_0=0,\eta_k=-\xi_k(k\geqslant2)\).证明\(T\)不存在特征值.

六、设\(H\)是实内积空间,\((e_i,e_j)=0(i\neq j)\).证明:\(\|e_1+e_2+e_3\|^2=\|e_1\|^2+\|e_2\|^2+\|e_3\|^2\).

七、\(H\)是Hilbert空间,\(x_n,x_0\in H,\|x_n\|\rightarrow\|x_0\|,(x_n,x_0)\rightarrow(x_0,x_0)\).证明\(x_n\rightarrow x_0\).


Last update: July 26, 2020