2020-2021第二学期最优化方法期末考试

整理：lzh

1. 证明
   (1)\(f\)为凸函数的充要条件是\(Epi(f)=\{(x,t)|x\in dom f, f(x)\leq t\}\)为凸集
   (2)\(X_i\)为凸集，\(i=1,2,...N\)，\(\cap_{i=1}^{N}X_i\)还是凸集. 这个结论对于凸集的并是否成立？
2. 证明\(\mathbb{R}^n\)连续可微函数\(f\)是凸函数的充分必要条件是，
   \(\(\forall x, y\in \mathbb{R}^n, (\nabla f(x)-\nabla f(y))^T(x-y)\leq 0\)\)
3. 计算题
   (1)一个很简单的单纯形，是标准型，而且约束条件是后几个变量恰好是基变量的形式，具体数不记得的了，但是很简单
   (2)用牛顿迭代法求解\(2x_1^2+2x_2^2\)
4. 证明：
   (1)凸优化问题的局部最优解为全局最优解
   (2)共轭梯度法对二次型函数至多迭代n次达到收敛
5. 约束优化问题
   \(min\) \(x_1\)
   \(s.t.\)   \(x_1^3 - x_2 \geq 0\)
       \(x_2 \geq 0\)
   (1)求解在(0, 0)处的LFD和SFD
   (2)求解该问题
6. 用KTT条件求解约束优化问题(约束条件有点多记不住了，总之就是分类讨论一下能求出来的那种)
7. (1)写出梯度下降法、牛顿迭代法、共轭梯度下降法的下降方向
   (2)列出几个常用的线搜索方法的名称