2015-2016第二学期高等代数2-2期中考试

一、求二次曲面\(x^2-4y^2-2z^2-4xy+4xz+8yz-6x-4y-4z+9=0\)的曲面类型.若是直纹面,则求出直母线方程.

二、求与直线

\[l_1:\left\{\begin{aligned}x=1 \\y=z \end{aligned}\right.,l_2:\left\{\begin{aligned}x=-1 \\y=-z \end{aligned}\right.,l_3:\dfrac{x-2}{-3}=\dfrac{y+1}{4}=\dfrac{z+2}{5}\]

都共面的直线形成的曲面方程.

三、已知\(\mathbb{C}\)是复数域,

\[M=\left\{\begin{aligned}\left(\begin{array}{cc} \alpha & \beta \\-\beta & \alpha \end{array}\right) \Bigg|\alpha,\beta \in \mathbb{C}\end{aligned}\right\}.\]

证明:

(1)\(M\)对矩阵的加法和数乘构成实数域上的线性空间,并求出\(M\)的一组基和维数.

(2)\(M\)\(\mathbb{R}^4\)同构.并写出一个同构映射.

四、已知\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)\(\mathbb{R}^n\)的一组基.证明:\(\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\cdots,\alpha_1+\ldots+\alpha_n\)也是一组基.并求出\(\alpha=(n,n-1,\ldots,2,1)\)在新基下的坐标.

五、求由向量\(\alpha_i\)生成的子空间与由向量\(\beta_i\)生成的子空间的交空间与和空间的基和维数.设

\[\left\{\begin{aligned}\alpha_1=(\ \ \ 1,2,1,0) \\ \alpha_2=(-1,1,1,1)\end{aligned}\right.\left\{\begin{aligned}\beta_1=(2,-1,0,1) \\ \beta_2=(1,-1,3,7)\end{aligned}\right.\]

六、已知\(f(x)\)\(g(x)\)是数域\(\mathbf{P}\)中的多项式且满足\((f(x),g(x))=1\).\(A \in \mathbf{P}^{n \times n}\),\(W\)\(f(A)g(A)X=0\)的解空间,\(V_1\)\(f(A)X=0\)的解空间,\(V_2\)\(g(A)X=0\)的解空间.求证:\(W=V_1 \ \bigoplus \ V_2\).

七、设\(X'AX\)是一秩为\(n\)的实二次型.证明:存在\(\mathbb{R}^n\)的一个\(\displaystyle \frac{n-|s|}{2}\)维子空间\(V\)(其中\(s\)为符号差数),对任一\(X\in V\)\(X'AX=0\).

总结

这份试卷是今天(2016-4-12)上午考的。总体来讲,卷子和往年十分相像,所以尽管高代学得不如数分,却感觉考得比数分要好。

从第三题(2)可以看出我的迁移能力还不太够,第六题做得有些差错,只能说明课上内容没有认真理解掌握,而第七题写得乱,可以看出课下没有好好反思习题。

总的来说,半期考试已经结束,新的挑战迎面而来,希望能在下半学期好好学习,认真对待,期末交出一份满意的答卷!


Last update: July 26, 2020