2015-2016第一学期高等代数2-1期末考试

一.[此处省略三个平面的方程(没记住)]讨论:(1)何时相交于一点,并求出该点的坐标;(2)何时相交于一条直线,并求出该直线的方程;(3)何时三个平面两两相交并且交线平行.

二.[此处省略两组直线方程,每组有两条直线(没记住)](1)判断第一组的两条直线共面还是异面,若异面则求出两直线的公垂线,若共面则求出平面方程;(2)同上,对第二组进行判断.

三.求行列式

\[\left|\begin{array}{cccc} a & b & c & d \\ -b & a & -d & c \\ -c & d & a & -b \\ -d & -c & b & a \end{array}\right|\]

四.求点\((2,4,3)\)在直线\(x=y=z\)上的投影点及到直线的距离.

五.已知\(A+B=2E\)，\(\displaystyle B^*=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\), 求矩阵\(X\)使得\(AX=B\).

六.已知矩阵\(\displaystyle \left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)\), 其中\(A\)可逆.求证:

\[rank(A)+rank(D-CA^{-1}B)=rank\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right).\]

七.已知\(a,b,c\)不共面.求证:\(\displaystyle r=\frac{(r,b,c)}{(a,b,c)}a+\frac{(r,c,a)}{(a,b,c)}b+\frac{(r,a,b)}{(a,b,c)}c\).

八.证明:设\(m\times n\)矩阵\(A\)的秩为\(r\),则有\(m \times r\)的列满秩矩阵\(P\)和\(r \times n\)的行满秩矩阵\(Q\),使\(A=PQ\).